Teknik Riset Operasi Maksimasi dan Minimasi

PROGRAM LINEAR
Program  linear  adalah  salah  satu  model  matematika  yang  digunakan  untukmenyelesaikan  masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkanfungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah  variabel input.Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian masalah  dan apa penyebab masalah tersebut.

Dua macam fungsi Program Linear:

Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.Contoh:

PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi keduaproduk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dantenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiapunit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabelberikut:

Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja

Kg Bahan Baku dan jam Tenaga Kerja

Maksimum Penyediaan

Kain sutera

Kain wol

Benang Sutera

2

3

60 Kg

Benang Wol

2

30 Kg

Tenaga Kerja

2

1

40 Jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kainsutera dan Rp 30 juta untuk kain  wol.  Masalahnya  adalah  bagaimanamenentukan  jumlah  unit  setiap  jenis  produk  yang  akan diproduksi setiap hariagar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Langkah-langkah:

1.  Tentukan variabel

     X1=kain sutera

     X2=kain wol

2.  Fungsi tujuan

      Zmax= 40X1 + 30X2

3.  Fungsi kendala / batasan

      1.  2X1 + 3X2_60 (benang sutera)

      2.  2X2_30 (benang wol)

      3.  2X1 + X2_40 (tenaga kerja)

4.  Membuat grafik

      1.  2X1 + 3 X 2=60

      X1=0, X2 =60/3 = 20

      X2=0, X1= 60/2 = 30

      2.  2X2_30

      X2=15

       3.  2X1 + X2_40

       X1=0, X2 = 40

       X2=0, X1= 40/2 = 20

 maksimasi

Cara mendapat kan solusi optimal:

1. Dengan mencar i nilai Z set iap t it ik ekst rim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20  X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30  X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60

2X1 = 15  X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450

Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900 juta.
2. Dengan car a menggeser gar is f ungsi tujuan.
Solusi  optimal  akan  tercapai  pada  saat garis  fungsi  tujuan  menyinggung  daerah  feasible  (daerah  yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3). Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2   = 40

2X2 =20
X2   =10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 <->   X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900

Permasalahan Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapaipada saat garis fungsi
tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengantitik origin.Contoh :

Perusahaan  makanan  ROYAL  merencanakan  untuk  membuat  dua  jenis  makananyaitu  Royal  Bee  dan Royal  Jelly.  Kedua  jenis  makanan  tersebut  mengandungvitamin  dan  protein.  Royal  Bee  paling  sedikit diproduksi  2  unit  dan  Royal  Jellypaling  sedikit  diproduksi  1  unit.  Tabel  berikut  menunjukkan  jumlah vitamin danprotein dalam setiap jenis makanan:

Jenis Makanan

Vitamin (Unit)

Protein (unit)

Biaya / unit

Royal Bee

2

2

100.000

Royal Jelly

1

3

80.000

Minuman Kebutuhan

8

12

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1)  Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2)  Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3)  Fungsi kendala
1) 2X1 + X2 _8 (vitamin)
2) 2X1 + 3X2 _12 (protein)
3) X1 _2

4) X2 _1
4)  Membuat grafik
1)  2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
2)  2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
3)  X1 = 2
4)  X2 = 1

minimasi

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12

-2X2 = -4 <-> X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 <->  X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460
Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi Rp.460.000

Terus Melangkah Maju Dan Ciptakan Inovasi Terbaru

Posted in Education

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s